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黄金比をフィボナッチ数列から求めよう

 :     : 2021.09.16

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黄金比と黄金螺旋

皆さんは黄金比を知っていますか?
デザイナーさんは知っている方も多いと思います。

1:1.6180339887...

この図形の方が知っている人は多いですかね?
黄金比によってできる「黄金長方形」「黄金螺旋」です。

黄金比と黄金長方形と黄金螺旋

デザインの世界では黄金比は、最も美しく感じられる比率とされているそうです。

黄金比をもつ図形や写真

黄金比がどのようにデザイン的に美しいのか、どんな場面で黄金比が使われたり、
「実はこれも黄金比だった」というような事例についてはここでは割愛させていただいて。

この記事では、「黄金比をフィボナッチ数列から求める」にフォーカスを当てようと思います!

内容としては、「数学」や「幾何学」という(難しそうな)学問ではなく、小学校で勉強する「算数」です!


この黄金比に出てくる「1.6181…」と言う数は、フィボナッチ数列というものから導くことができるそうです。

(ここで、「できるそうです」と書いたのは、私は数学のプロでも幾何学のプロでもないので、ここに書く内容は言い回しや表現が曖昧で、証明しているわけでも断言しているわけでもないからです!あくまでも、フワっとした考察をしているだけですのでご了承ください!)

1. フィボナッチ数列って?

さて、フィボナッチ数列とは、

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...

次の項(数字)は、前の2項の和で求められる、そんな数の列です。

次の項(数字)は前の2項の和で数列

前の2項を足すと次の項が出てくるので、終わりがありません。

莫大な桁数の数と莫大な桁数の数であっても、それは足し算可能なので、次の数も莫大な桁数ですが、求められます。

と、そんな無限に続くフィボナッチ数列ですが、どこが黄金比と結びつくのでしょう?

2. フィボナッチ数列が黄金比に近づいていく

この数列の中の数を使って計算遊びをしてみましょう!(電卓があると良いヨ)

次の項÷前の項

「次の項÷前の項」を順々に繰り返して、また新しい数列を作ってみます。

するとだんだん、黄金比の「1:1.618…」に近い数字が出てくるのです!
※「1÷0=×」なのは何故か、については、話が脱線してしまうため割愛します。。

この先どんどん割り算を進めると、もっともっと近づきます。
(例えば下記は、第39項と第40項の割り算です。ほとんど黄金比の数ですね)

102334155 ÷ 63245986=1.61803398874989...

このように、フィボナッチ数列と黄金比は、関係が深いようです…!

3. フィボナッチ数列が黄金曲線に近づいていく

では次に、黄金曲線が描かれている下記の図形について考えていきましょう。
今度は数列から、幾何学で遊んでみます!

黄金比と黄金長方形と黄金螺旋

まずは、フィボナッチ数列をもう一度見てみます。

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...

この数字と同じ直径を持つ円を、下記のように並べてみます。

フィボナッチ数列と同じ直径の円を並べる
フィボナッチ数列と同じ直径の円を並べる

さて、この並んだ円を敷き詰めるように並べてみると…

そして、この円を囲うように正方形で囲みます。

そうすると、この長方形の縦と横の比率は「1.1618」になります。

円を囲った正方形でできた

左端から、正方形の逆端に点を付けます。

逆端だった点から、また次の正方形の逆端に点をつけます。

こんな感じで、次の正方形の逆端に、次の正方形の逆端に…と、どんどん点をつけます。

最後にこの点を通るように、滑らかな線で繋げると

黄金螺旋の出来上がり!!

こんな感じで、フィボナッチ数列と黄金比&黄金螺旋は、とっても仲良しなんですね!

4. おまけの数学的な楽しみ方

さて、ここからはおまけの楽しみ方です。

フィボナッチ数列を「次の項÷前の項」して行った時のこの答えたちをグラフにしてみました。すると…

そうすると、1.618……という黄金比にだんだん近づくときに、
このグラフのように、上下にふらふら(振動)しながら近づいていくんです!

「黄金比にだんだん近づく」と一言で言っても

こんなふうでもなく

こんなんでもない、

こんなふうに振動しながら近づくんですね!

電卓で手作業で計算すると、こんなことがよくわかります!楽しい♪

まとめ

いかがだったでしょうか?

実はこのサイト「BOTAO」のロゴも、黄金比だったりします。

BOTAOのロゴは黄金比です

今回私は「黄金比」と「フィボナッチ数列」が関係していることは、既に「黄金比」について調べた時に書いてあった情報で知っていたのですが、

「なぜ関係しているのか?」は、他の方が書いた記事などをさらっと読んだだけでしたので、うっすらしか理解していませんでした。

「うっすら知った情報」は、瞬く間に記憶から削除され(笑)ていましたが、
今回自分で探ってみて、自分で黄金比曲線を描いてみることで、
前とは随分違う根深いところまで、記憶に染み渡った感覚があります。

そして何より、自分の手(電卓)を使って探ることによって、
(たとえそれが、多くの人が既に知っている情報だったとしても)
「わ〜、楽しいなー!!」と思えました。

「自分でやってみる」ことへの大きな意味があったと言えますね!


この記事を書いた人

あんちゃん
フロントエンジニア / ディレクター
あんちゃん

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