![黄金比と黄金螺旋](https://botao.co.jp/wp-content/uploads/2021/09/g15.jpg)
皆さんは黄金比を知っていますか?
デザイナーさんは知っている方も多いと思います。
![1:1.6180339887...](https://botao.co.jp/wp-content/uploads/2021/09/g01.jpg)
この図形の方が知っている人は多いですかね?
黄金比によってできる「黄金長方形」「黄金螺旋」です。
![黄金比と黄金長方形と黄金螺旋](https://botao.co.jp/wp-content/uploads/2021/09/g02.jpg)
デザインの世界では黄金比は、最も美しく感じられる比率とされているそうです。
![黄金比をもつ図形や写真](https://botao.co.jp/wp-content/uploads/2021/09/g00-984x720.png)
黄金比がどのようにデザイン的に美しいのか、どんな場面で黄金比が使われたり、
「実はこれも黄金比だった」というような事例についてはここでは割愛させていただいて。
この記事では、「黄金比をフィボナッチ数列から求める」にフォーカスを当てようと思います!
内容としては、「数学」や「幾何学」という(難しそうな)学問ではなく、小学校で勉強する「算数」です!
この黄金比に出てくる「1.6181…」と言う数は、フィボナッチ数列というものから導くことができるそうです。
(ここで、「できるそうです」と書いたのは、私は数学のプロでも幾何学のプロでもないので、ここに書く内容は言い回しや表現が曖昧で、証明しているわけでも断言しているわけでもないからです!あくまでも、フワっとした考察をしているだけですのでご了承ください!)
1. フィボナッチ数列って?
さて、フィボナッチ数列とは、
![0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...](https://botao.co.jp/wp-content/uploads/2021/09/g03.jpg)
次の項(数字)は、前の2項の和で求められる、そんな数の列です。
![次の項(数字)は前の2項の和で数列](https://botao.co.jp/wp-content/uploads/2021/09/g04.jpg)
前の2項を足すと次の項が出てくるので、終わりがありません。
莫大な桁数の数と莫大な桁数の数であっても、それは足し算可能なので、次の数も莫大な桁数ですが、求められます。
と、そんな無限に続くフィボナッチ数列ですが、どこが黄金比と結びつくのでしょう?
2. フィボナッチ数列が黄金比に近づいていく
この数列の中の数を使って計算遊びをしてみましょう!(電卓があると良いヨ)
![次の項÷前の項](https://botao.co.jp/wp-content/uploads/2021/09/o6.jpg)
「次の項÷前の項」を順々に繰り返して、また新しい数列を作ってみます。
![](https://botao.co.jp/wp-content/uploads/2021/09/g06.jpg)
するとだんだん、黄金比の「1:1.618…」に近い数字が出てくるのです!
※「1÷0=×」なのは何故か、については、話が脱線してしまうため割愛します。。
この先どんどん割り算を進めると、もっともっと近づきます。
(例えば下記は、第39項と第40項の割り算です。ほとんど黄金比の数ですね)
![102334155 ÷ 63245986=1.61803398874989...](https://botao.co.jp/wp-content/uploads/2021/09/g20.jpg)
このように、フィボナッチ数列と黄金比は、関係が深いようです…!
3. フィボナッチ数列が黄金曲線に近づいていく
では次に、黄金曲線が描かれている下記の図形について考えていきましょう。
今度は数列から、幾何学で遊んでみます!
![黄金比と黄金長方形と黄金螺旋](https://botao.co.jp/wp-content/uploads/2021/09/g02.jpg)
まずは、フィボナッチ数列をもう一度見てみます。
![0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...](https://botao.co.jp/wp-content/uploads/2021/09/g03.jpg)
この数字と同じ直径を持つ円を、下記のように並べてみます。
![フィボナッチ数列と同じ直径の円を並べる](https://botao.co.jp/wp-content/uploads/2021/09/g07.jpg)
![フィボナッチ数列と同じ直径の円を並べる](https://botao.co.jp/wp-content/uploads/2021/09/g08-440x720.jpg)
さて、この並んだ円を敷き詰めるように並べてみると…
![](https://botao.co.jp/wp-content/uploads/2021/09/g09.jpg)
そして、この円を囲うように正方形で囲みます。
![](https://botao.co.jp/wp-content/uploads/2021/09/g10.jpg)
そうすると、この長方形の縦と横の比率は「1.1618」になります。
![円を囲った正方形でできた](https://botao.co.jp/wp-content/uploads/2021/09/g11.jpg)
左端から、正方形の逆端に点を付けます。
![](https://botao.co.jp/wp-content/uploads/2021/09/g12.jpg)
逆端だった点から、また次の正方形の逆端に点をつけます。
![](https://botao.co.jp/wp-content/uploads/2021/09/g13.jpg)
こんな感じで、次の正方形の逆端に、次の正方形の逆端に…と、どんどん点をつけます。
![](https://botao.co.jp/wp-content/uploads/2021/09/g14.jpg)
最後にこの点を通るように、滑らかな線で繋げると
![](https://botao.co.jp/wp-content/uploads/2021/09/g15-1.jpg)
黄金螺旋の出来上がり!!
こんな感じで、フィボナッチ数列と黄金比&黄金螺旋は、とっても仲良しなんですね!
4. おまけの数学的な楽しみ方
さて、ここからはおまけの楽しみ方です。
![](https://botao.co.jp/wp-content/uploads/2021/09/g16-630x720.jpg)
フィボナッチ数列を「次の項÷前の項」して行った時のこの答えたちをグラフにしてみました。すると…
![](https://botao.co.jp/wp-content/uploads/2021/09/g17.jpg)
そうすると、1.618……という黄金比にだんだん近づくときに、
このグラフのように、上下にふらふら(振動)しながら近づいていくんです!
「黄金比にだんだん近づく」と一言で言っても
![](https://botao.co.jp/wp-content/uploads/2021/09/g18.jpg)
こんなふうでもなく
![](https://botao.co.jp/wp-content/uploads/2021/09/g19.jpg)
こんなんでもない、
![](https://botao.co.jp/wp-content/uploads/2021/09/g17.jpg)
こんなふうに振動しながら近づくんですね!
電卓で手作業で計算すると、こんなことがよくわかります!楽しい♪
まとめ
いかがだったでしょうか?
実はこのサイト「BOTAO」のロゴも、黄金比だったりします。
![BOTAOのロゴは黄金比です](https://botao.co.jp/wp-content/uploads/2021/09/g20.png)
今回私は「黄金比」と「フィボナッチ数列」が関係していることは、既に「黄金比」について調べた時に書いてあった情報で知っていたのですが、
「なぜ関係しているのか?」は、他の方が書いた記事などをさらっと読んだだけでしたので、うっすらしか理解していませんでした。
「うっすら知った情報」は、瞬く間に記憶から削除され(笑)ていましたが、
今回自分で探ってみて、自分で黄金比曲線を描いてみることで、
前とは随分違う根深いところまで、記憶に染み渡った感覚があります。
そして何より、自分の手(電卓)を使って探ることによって、
(たとえそれが、多くの人が既に知っている情報だったとしても)
「わ〜、楽しいなー!!」と思えました。
「自分でやってみる」ことへの大きな意味があったと言えますね!
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